<Exercise 5> 풀이

Q.1. 1차편도함수를 구함.

(a) [eqn: z=2w ^{2} +8wxy-x ^{2} +y ^{2}].

[eqn: z _{x} =8wy-2x], [eqn: z _{y} =8wx+2y],  [eqn: z _{w} =4w+8xy]

(b) 생략.

Q.2. 1차편도함수를 구함.

(a) [eqn: z= {(5x ^{2} -7y)(3x ^{2} +8y)} over {4x+2y}]  ([eqn: z= {d} over {a}], [eqn: d=b CDOT c]).           [eqn: z _{x} = {a[b CDOT c _{x} +b _{x} CDOT c]``-`(b CDOT c) CDOT a _{x}} over {a ^{2}}] (몫, 곱의 법칙적용)

[eqn: z _{x} = {(4x+2y)[(5x ^{2} -7y)(6x)+(3x ^{2} +8y)(10x)]-(5x ^{2} -7y)(3x ^{2} +8y)(4)} over {(4x+2y) ^{2}}]

[eqn: z _{y} = {(4x+2y)[(5x ^{2} -7y)(8)+(3x ^{2} +8y)(-7)]-(5x ^{2} -7y)(3x ^{2} +8y)(2)} over {(4x+2y) ^{2}}]

(b) [eqn: Z= {(3x+11y) ^{3}} over {2x+6y}] 생략.

Q.3.  2차편도함수 [eqn: z _{xx} `,````z _{yy}]를 구함.

(a) [eqn: z=x ^{2} +2xy+y ^{2}].

[eqn: z _{x} =2x+2y`,````````````z _{xx} =2`,````````````z sub y = 2x+2y`,````````````z sub yy = 2]

(b) [eqn: z=(12x-7y) ^{2}]	생략

(c) [eqn: z=(x ^{2} +2y) ^{4}].   [eqn: z _{x} =4(x ^{2} +2y) ^{3} (2x)=8x(x ^{2} +2y) ^{3}],      [eqn: z _{y} =4(x ^{2} +2y) ^{3} (2)=8(x ^{2} +2y) ^{3}]

(곱의 미분법칙 적용)

[eqn: z _{xx} =8x[3(x ^{2} +2y) ^{2} (2x)+(x ^{2} +2y) ^{3} (8)]=48x ^{2} (x ^{2} +2y) ^{2} +8(x ^{2} +2y) ^{3}][eqn: z _{yy} =8(3)(x ^{2} +2y) ^{2} (2)+(x ^{2} +2y) ^{3} (0)=48 {} (x ^{2} +2y) ^{2}]

Q.4.  교차편도함수 [eqn: z _{xy}], [eqn: z _{yx}]를 구함.

(a) [eqn: z=3x ^{2} +12xy+5y ^{2}].

[eqn: z _{x} =6x+12y],  [eqn: z _{xy} =12],  [eqn: z _{y} =12x+10y],  [eqn: z _{yx} =12]

(b) [eqn: z=8x ^{2} y-11xy ^{3}] 생략.

(c) [eqn: z=(8x-4y) ^{5}]. [eqn: z _{x} =5(8x-4y) ^{4} (8)=40(8x-4y) ^{4}],

[eqn: z _{xy} =40(4)(8x-4y) ^{3} (-4)=-640(8x-4y) ^{3}]

[eqn: z _{y} =5(8x-4y) ^{4} (-4)=-20(8x-4y) ^{4}],                   [eqn: z _{yx} =-20(4)(8x-4y) ^{3} (8)=-640(8x-4y) ^{3}]

Q.5.  미분 [eqn: dy]를 구함.

(a) [eqn: y=7x ^{3} -5x ^{2} +6x-3]	[eqn: {dy} over {dx} =21x ^{2} -10x+6`,````````````````dy=(21x ^{2} -10x+6)dx]

(b) [eqn: y= {9x-4} over {5x}] 생략

(c) [eqn: y=(11x+9) ^{3}] 생략

Q.6. 전미분 [eqn: dz=z _{x} dx+z _{y} dy] 을 구함.

(a) [eqn: z=5x ^{3} -12xy-6y ^{5}].	[eqn: z _{x} =15x ^{2} -12y`,````````````z sub y = -12x -30y sup 4],  따라서

[eqn: dz=z _{x} dx+z _{y} dy=(15x ^{2} -12y)dx-(12x=30y ^{4} )dy]

(b) [eqn: z=3x ^{2} (8x-7y)] 생략.	(c) [eqn: z= {9y ^{3}} over {x-y}] 생략.

Q.7.  전도함수 [eqn: dz/dx]를 구함.

(a) [eqn: z=6x ^{2} +15xy+3y ^{2}], where [eqn: y=7x ^{2}]	.

(전도함수: [eqn: {dz} over {dx} =z _{x} +z _{y} CDOT {dy} over {dx}],   [eqn: {dy} over {dx} =14x])

[eqn: {dz} over {dx} =(12x+15y)+(15x+6y)(14x)# ````````````=210x ^{2} +84xy+12x+15y]

(b)  [eqn: z= {9x-7y} over {2x+5y}],  where [eqn: y=3x-4] 생략.

Q.8.  음함수의 도함수 [eqn: dy/dx], [eqn: dx/dy]를 구함.

[eqn: f _{x} dx+f _{y} dy=0].  [eqn: {dy} over {dx} =`- {f _{x}} over {f _{y}}].

(a) [eqn: y-6x+7=0]. [eqn: f _{x} =-6`,````````````f _{y} =1]

따라서 [eqn: {dy} over {dx} =`- {f _{x}} over {f _{y}} =`- {-6} over {1} =6].

(b) [eqn: x ^{2} +6x-13-y=0] 생략.

Q.9. 함수 [eqn: z=3x ^{2} +2y ^{2} -xy-4x-7y+12]에 대해서 임계값을 구하고, 극대, 극소, 변곡점, 안점을 판별하라.

(a) 1계 편도함수=0으로 둠:

[eqn: z _{x} =6x-y-4=0``````--------(1)# z _{y} =4y-x-7=0``````--------(2)]

[eqn: (1) times 4 +(2)]: [eqn: 23x-23=0````````` THEREFORE ``` bar{x} =1`,``` bar{y} =2]

(b) 2계 편도함수의 부호를 확인:

[eqn: z _{xx} =6>0`,``````````z _{yy} =4>0] 모두 양이므로, 함수는 주대각선에 대해서 극소임.

- 교차편도함수의 제곱을 구해서 2계 (직접)편도함수의 곱과 비교: [eqn: z _{xy} =z _{yx} =`-1<0]

[eqn: (6)(4)>(-1) ^{2} `이므로```````z _{xx} z _{yy} >(z _{xy} ) ^{2}]이다. 따라서 모든 방향에서 보더라도 함수는 극소임.

(c) [eqn: z=3(1) ^{2} +2(2) ^{2} -1(2)-4(1)-7(2)+12=3]

* 참고:

- 변곡점 경우: [eqn: z _{xx} z _{yy} <(z _{xy} ) ^{2}] 이지만 2계 편도함수 부호가 서로 동일.  [eqn: z=-2x ^{2} +8x`+12xy-12y ^{2} +6y]

- 안점인 경우: [eqn: z _{xx} z _{yy} <(z _{xy} ) ^{2}] 이지만 2계 편도함수 부호가 서로 다름.   [eqn: z=5x ^{2} -30x+4xy-3y ^{2} +7y]

Q.10. 임계값을 구하고, 극대, 극소를 확인함.

(a) [eqn: z=3x ^{3} +3y ^{3} -9xy]

[eqn: z _{x} =9x ^{2} -9y=0````````-- -> ``````9y ^{} =9x ^{2} ,```````````y=x ^{2}# z _{y} =9y ^{2} -9x=0# ``````````=`9(x ^{2} ) ^{2} -9x=9x ^{4} -9x=9x(x ^{3} -1)=0````]

따라서 [eqn: x=0`````또는`````x ^{3} -1=0````-- -> ````x ^{3} =1,````` THEREFORE x=1]

[eqn: x=0``을``대입``-- -> ```y=0# x=1``을``대입``-- -> ```y=1]

(b) [eqn: z _{xx} =18x`,```````z _{yy} =18y`,``````z _{xy} =z _{yx} =`-9]

- [eqn: bar{x} =0`,````` bar{y} =0``에서```극값을```계산:]

[eqn: z _{xx} =0`,``````z _{yy} =0`,`````z _{xy} =-9]

따라서 [eqn: z _{xx} z _{yy} <(z _{xy} ) ^{2}]이므로 극대도 극소도 아님.

- 한편, [eqn: bar{x} =1,``` bar{y} =1]에서 보면:

[eqn: z _{xx} =18`,````z _{yy} =18`,````z _{xy} =-9] 이므로 [eqn: z _{xx} z _{yy} >(z _{xy} ) ^{2}]

따라서 이 함수는 [eqn: bar{x} =1,``` bar{y} =1]에서 극소이며, 극값은

[eqn: z=3(1) ^{3} +3(1) ^{3} -9(1)(1)=-3]이다.

Q.11. [eqn: z=4x ^{2} -2xy+6y ^{2}]를 [eqn: x+y=72]제약에서 최적화하고, 제약식 상수 1단위 변화가 미치는 영향을 구함.

[eqn: Z=4x ^{2} -2xy+6y ^{2} + lambda (x+y-72)# # ``````````Z _{x} =`````8x-```2y+ lambda =0`````-------`(1)# ``````````Z _{y} =-2x+12y+ lambda =0`````-------(2)# ``````````Z _{lambda } =``x+y-72=0``````````--------`(3)]

(1)-(2): [eqn: 10x-14y=0`````` -> `````x=1.4y]를 (3)에 대입:

[eqn: 1.4y+y=72``-- -> bar{y} =30,``` bar{x} =42,` bar{``lambda } =-276], [eqn: Z=9936].

[eqn: lambda <0] 이므로, 제약식 상수가 1단위 증가하면 목적함수의 값은 대략 276정도 증가한다.

Q.12. 위 문제11을 새로운 제약식 [eqn: x+y=73]에서 확인.

[eqn: Z=4x ^{2} -2xy+6y ^{2} + lambda (x+y-73)# # `````Z _{x} =`````8x-```2y+ lambda =0`````-------`(1)# `````Z _{y} =-2x+12y+ lambda =0`````-------(2)# `````Z _{lambda } =``x+y-73=0``````````--------`(3)]

(1)-(2):  [eqn: 10x-14y=0`````` -> `````x=1.4y]를 (3)에 대입:

[eqn: 1.4y+y=73``` -> `` bar{y} =30.42,``` bar{x} =42.58,` bar{`` lambda } =-279.8]

[eqn: Z=4(42.58) ^{2} -2(42.58)(30.42)+6(30.42) ^{2}# ``````` CONG 10,213.9 CONG 10,212]